Detalhes de funcionamento do aplicativo EstatCheias/SGB

O EstatCheias/SGB foi produzido de modo a possibilitar uma interface fluida e intuitiva para a analise de frequencia de exentos extremos, com foco na analise de cheias. Contudo, é importante explicitar alguns elementos acerta de sua estrutura e funcionamento.

Alem deste painel introdutório, o aplicativo é composto por outras três partes:

Entrada de Dados

No segundo painel, o/a usuario/a podera carregar seus próprios dados hidrológicos, visualizar os dados em formato de tabela dinâmica e visualizar um sumário estatístico dessas informacões.

Para correta leitura dos dados, é obrigatório que o dado de entrada seja um arquivo .csv, com ao menos uma coluna com nome "Anos" e outra "Vazao".

É preferivel que as colunas do arquivo de entrada sejam separadas por ponto-e-virgula e as casas decimais sejam virgula. Caso isso nao ocorra, o/a usuario/a tera algumas opcões de ajuste de formato de separacao de colunas e casas decimais no painel lateral.

Para correta leitura dos dados, tambem é importante que não exista valores faltantes.

O carregamento do arquivo por parte do/a usuario/a é feito navegando em seus arquivos e pressionando o botao "Busque o arquivo".

Análise exploratória

Neste painel, o/a usuario/a podera visualizar alguns gráficos que ilustram o comportamento geral da amostra. São eles: a série histórica dos dados; o histograma de frequência em conjunto com a densidade empírica; um diagrama de caixas (ou Boxplot); e um gráfico do tipo violino.

A proposta é a de que alguns aspectos tais tendência, mudanças de comportamento ao longo do histórico, assimetria e distribuição dos dados possam ser investigados.

Análise de Frequência

No quarto painel, o/a usuario/a podera otimizar os parametros calibrados por meio do algoritmo genetico Multi-Objective Particle Swarm Optimization (MOPSO) (Nascimento et al., 2009). 4 Funcões objetivo diferentes sao admitidas: o coeficiente de Nash-Sutcliffe, a curva de permanência de vazões, e a curva de permanência considerando apenas as vazões altas ou baixas. Neste painel, as condicões da bacia nao sao calibradas, sao apenas inseridos pelo/a usuario/a.

Para os seis parametros do modelo, o/a usuario/a devera escolher uma faixa que acredite conter os melhores parametros do modelo. Sugere-se, que essa faixa contenha os valores estimados no painel anterior. O/A usuario/a deve inserir um limite inferior e superior para os parametros. O/A usuario/a tambem podera alterar os parametros do algoritmo MOPSO e ao final clicar em "Rodar".

Elementos de análise de frequência de eventos extremos

O EstatCheias/SGB implementa métodos de análise de frequência clássico para a análise de eventos extremos. Para essa finalidade faz uso do pacote "extRemes" (Gilleland e Katz, 2014). Para que se entenda os procedimentos de análise de frequência implementados neste aplicativo, esta aba explora brevemente alguns aspectos dos aspectos da análise de frequência de eventos extremos.

A distribuição Generalizada de Valores Extremos

Caso um conjunto de variáveis aleatórias Independetes e Identicamente Distribuídas (IID), \(\ X_1,...X_n \) siga uma distribuição \(\ df \) e caso se queira aproximar a distribuição \(\ df \) para os valores máximos, \(\ M_n = max\{X_1, ..., X_n\} \), a \(\ Prob\{M_n < z\} = F^n(z)\) e \(\ F^n(z) \rightarrow 0 \) na medida em que \(\ n \rightarrow \infty \).

Analogamente ao Teorema do Limite Central, cujo embasamento teórico para médias faz com que na formulação acima a as considerações acima dão suporte para que \(\ df \) tenda para a distribuição normal, as considerações acima dão suporte para que, no caso de valores extremos, a \(\ df \) tenda assintoticamente para alguns casos específicos.

Duas condições específicas podem ser mencionadas: na primeira, as séries históricas são reduzidas a blocos (por exemplo o caso de valores máximos diários ou anuais); na segunda considera-se valores acima de determinados limiares (picos sobre limiares). Na primeira situação a distribuição Generalizada de Valores Extremos oferece suporte teórico para que se ajuste às séries em blocos, e para a segunda, a distribuição Generalizada de Pareto oferece suporte similar.

Este aplicativo considera apenas o caso em que as séries são analisadas em blocos. Ou seja, dedica-se aos casos em que a amostra é descrita pela distribuição Generalizada de Valores Extremos, dada pela seguinte expressão: $$G(z) = exp\left[- \left( 1 + \xi \left( \frac{z- \mu}{\sigma} \right)\right)^{\frac{-1}{\xi}}_{+} \right]$$

em que \(\ y+ = max\{y,0\} \), \(\ \sigma > 0 \), \(\ -\infty < \mu \) e \(\ \xi < \infty \). Na equação acima, três casos são considerados a depender do sinal de \(\ \xi \): a distribuição Frechét, quando \(\ \xi > 0 \); a distribuição Weibull (limitada superiormente) quando \(\ \xi < 0 \); e a distribuição Gumbel, quando \(\ \xi \) tende a zero.

Nest último caso, a expressão acima resulta em: $$G(z) = exp\left[- exp \left(- \left( \frac{z- \mu}{\sigma} \right)\right) \right]$$

A função de quantis da distribuição GEV (relação entre probabilidade - ou períoro de recorrência) e valores de cheias estimados pode ser derivada diretamente da expressão de função acumulada de probabilidades. Considerando \(\ y_p = -1/ln\left( 1 - p \right) \), em que \(\ p \) é a probabilidade de não-excedência de um determinado valor de cheia e, assim, o período de retorno é dado por \(\ 1/p \), o quantil de cheia é dado pelas seguintes expressões:

$$ z_p = \mu + \frac{\sigma }{\xi} \left[ y_{p}^{\xi} - 1\right], \ \xi \neq 0 $$

ou

$$ z_p = \mu + \sigma ln\left( y_{p} \right), \ \xi = 0 $$

Inferência estatística aplicada à distribuição GEV

Existem algumas formas de se estimar parâmetros das funções de distribuição de probabilidades. Aqui neste aplicativo, o método da Máxima Verossimilihança (no caso das distribuições GEV e Gumbel) e dos Momentos-L (apenas GEV) são utilizados para essas estimativas.

A estimativa de máxima verossimilhança é feita por meio da definição do conjunto de parâmetros que maximizam a função de verossimilhança (ou da log-verossimilhança). Para distribuição GEV, a função de Log-Verossimilhança é dada pela função abaixo:

$$ l \left(\mu,\sigma, \xi ; z_{1}, \dots , z_{m} \right) = - m ln \sigma - \left( 1 + 1 \ / \xi \right) \sum_{i = 1}^{m} ln\left[1 + \xi \left(\frac{z_1-\mu}{\sigma} \right) \right]_{+} - \sum_{i = 1}^{m} \left[1 + \xi \left(\frac{z_1-\mu}{\sigma} \right)\right]_{+}^{-1 \ / \xi}$$